ГЕОМЕТРИЯ. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны друг другу. В данной статье мы рассмотрим задачу на нахождение стороны в равнобедренном треугольнике.
Дано: $AB : AC = 5:2$, $P$ (периметр треугольника)
Найти: $AC$
Для решения данной задачи нам необходимо вспомнить некоторые утверждения из геометрии.
Утверждение 1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.
Утверждение 2. В треугольнике медиана, проведенная к основанию, делит ее на две равные части.
Пользуясь этими утверждениями, можно решить данную задачу.
Из условия задачи мы знаем, что $AB : AC = 5:2$, то есть $AB = \frac{5}{7}P$ и $AC = \frac{2}{7}P$. Обозначим биссектрису угла $A$ через $AD$.
По утверждению 1, $AD$ является медианой и высотой, значит она делит сторону $BC$ пополам. Тогда $BD = DC = \frac{1}{2}(P-AB) = \frac{1}{2}(P-\frac{5}{7}P) = \frac{1}{7}P$.
По утверждению 2, $AD$ делит сторону $BC$ в отношении боковых сторон треугольника, то есть $BD : DC = AB : AC = 5:2$. Значит $BD = 5x$ и $DC = 2x$, где $x$ - некоторый коэффициент.
Тогда $\frac{1}{7}P = BD + DC = 7x$, откуда $x = \frac{1}{49}P$.
Таким образом, $BD = 5x = \frac{5}{49}P$ и $DC = 2x = \frac{2}{49}P$.
Из этого следует, что $AC = AD + DC = \frac{2}{7}P = \frac{2}{5}\cdot\frac{5}{7}P = \frac{2}{5}(BD + DC) = \frac{2}{5}\cdot\frac{7}{49}P = \frac{2}{35}P$.
Ответ: $AC = \frac{2}{35}P$.
Таким образом, решив данную задачу, мы вспомнили два утверждения из геометрии и научились применять их на практике.