Как решить интеграл от Ln(x+8)

Интегралы от функций, содержащих логарифмы, являются одними из наиболее сложных для решения. Однако, есть определенные подходы, которые позволяют значительно упростить решение. Рассмотрим, как решить интеграл от Ln(x+8).

Интеграл от логарифма можно представить в виде:

∫ Ln(x+8) dx

Для решения этого интеграла применим метод интегрирования по частям.

Пусть u = Ln(x+8), а dv = dx. Тогда du/dx = 1/(x+8), а v = x.

Используя формулу интегрирования по частям, получаем:

∫ Ln(x+8) dx = x*Ln(x+8) - ∫ x/(x+8) dx

Преобразуем выражение под интегралом с помощью разложения на простейшие дроби:

∫ x/(x+8) dx = ∫ (x+8-8)/(x+8) dx

∫ x/(x+8) dx = ∫ (x+8)/(x+8) dx - ∫ 8/(x+8) dx

∫ x/(x+8) dx = x - 8Ln(x+8) + C

Что означает константа С? Она обозначает произвольную постоянную, которая возникает при интегрировании.

Таким образом, мы получили окончательный ответ на задачу:

∫ Ln(x+8) dx = x*Ln(x+8) - x + 8Ln(x+8) + C

Напомним, что данная формула является ответом на задачу в рамках неопределенного интеграла, то есть ответ имеет бесконечное множество возможных значений, отличающихся друг от друга на константу C.

В заключение, решение интеграла от Ln(x+8) требует применения метода интегрирования по частям и разложения на простейшие дроби. Знание этих методов является важным для решения подобных задач.