Кто-нибудь может решить эти 2 тригонометрических неравенства?

Тригонометрия – это раздел математики, изучающий свойства и возможности решения уравнений и неравенств, связанных с тригонометрическими функциями.

Существует немало задач на решение тригонометрических уравнений и неравенств, которые могут вызвать трудности даже у опытных математиков. В этой статье мы рассмотрим два тригонометрических неравенства, которые вызывают затруднение у многих учеников и студентов.

Неравенство с тангенсом

Первое неравенство:

$$\frac{\tan{x}}{2} > \tan{\frac{x}{2}}$$

Данное неравенство возможно решить следующим образом:

$$\frac{\tan{x}}{2} > \tan{\frac{x}{2}}$$ $$\frac{\sin{x}}{2\cos{x}} > \frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin{x}}{\cos{x}} > \frac{\sin{x}}{2\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\cos{x}} > \frac{1}{2}\cdot\frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}$$ $$\frac{1}{\cos{x}} > \frac{1+\cos{x}}{1-\cos{x}}$$ $$\frac{1}{\cos{x}} > \frac{2}{\sin{x}}$$ $$\sin{x} > 2\cos{x}$$ $$\tan{x} > 2$$

Таким образом, решением неравенства является

$$x \in \Big(2k\pi, \frac{\pi}{4}+2k\pi\Big)\cup\Big(\frac{\pi}{4}+2k\pi,\frac{5\pi}{4}+2k\pi\Big)\cup\Big(\frac{5\pi}{4}+2k\pi,2\pi+2k\pi\Big),\ k \in \mathbb{Z}$$

Неравенство с косинусом

Второе неравенство:

$$\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x} > 0$$

Для решения этого неравенства воспользуемся тригонометрическим тождеством:

$$\cos{a}+\cos{b} = 2\cos{\frac{a+b}{2}}\cos{\frac{a-b}{2}}$$

Тогда получаем:

$$\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x} = 2\cos{\frac{5x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}\cos{x} > 0$$

Причем, так как исходное неравенство справедливо для всех $x \in \mathbb{R}$, то $\cos{x} \neq 0$ и $\cos{\frac{x}{2}} \neq 0$. Тогда $\cos{\frac{5x}{2}} > 0$, и следовательно $\cos{x} > 0$.

Таким образом, решением данного неравенства являются все $x \in \Big(2k\pi-\frac{\pi}{3}, 2k\pi+\frac{\pi}{3}\Big),\ k \in \mathbb{Z}$.

Выводы

Тригонометрические неравенства могут быть решены различными способами с применением соответствующих тригонометрических тождеств и свойств. Но чтобы получить корректное решение, необходимо условия существования функций и допустимых значений.