FAQ Infinity

Научите "на пальцах" решать систему линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса – это один из основных методов решения систем линейных уравнений. С его помощью можно решить систему любого размера и сложности. В данной статье мы рассмотрим шаги, необходимые для решения системы линейных уравнений методом Гаусса "на пальцах".

Шаг 1: Запишите систему уравнений

Сначала нужно записать систему линейных уравнений в виде матрицы:

$$ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} & | & b_1 \ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} & | & b_2 \ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} & | & b_3 \ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots \ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} & | & b_n \end{pmatrix} $$

Здесь $a_{ij}$ – коэффициенты перед неизвестными, а $b_i$ – свободные члены.

Шаг 2: Приведите систему к треугольному виду

Чтобы привести систему к треугольному виду, нужно последовательно применять три операции над строками матрицы:

  1. Умножение строки на ненулевую константу.
  2. Перестановка двух строк местами.
  3. Прибавление строки с константой к другой строке.

Применяя эти операции, зануляем элементы в первом столбце ниже главной диагонали. Затем повторяем процедуру для оставшихся столбцов до тех пор, пока не получим треугольную матрицу.

Шаг 3: Обратите матрицу

После приведения системы к треугольному виду, нужно обратить матрицу, то есть занулить все элементы выше главной диагонали. Для этого последовательно применяем операции над строками в обратном порядке:

  1. Прибавление строки с константой к другой строке.
  2. Перестановка двух строк местами.
  3. Умножение строки на ненулевую константу.

Шаг 4: Вычислите неизвестные

После обращения матрицы и приведения ее к единичной форме, можно найти значения неизвестных по формуле:

$$ x_i = b_i - \sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j $$

Заключение

Метод Гаусса – это эффективный и универсальный метод решения систем линейных уравнений. Если вы хотите на практике научиться "на пальцах" решать системы методом Гаусса, то следует уделить время закреплению базовых понятий матричной арифметики и проводить много практических упражнений.