Ответы на Кенгуру 2017 года для 5-6 классов

Кенгуру - это всемирный математический конкурс для школьников, который проводится ежегодно в более чем 70 странах мира. В 2017 году участие в конкурсе принимали ученики 5 и 6 классов. В этой статье мы представляем ответы на некоторые задания этого конкурса.

Задание 1

Математический ребус:

         10
    +---- +
    |     8
    |    ---
    |     2
    +-------

Ответ: 860

Задание 2

Какая наименьшая цифра должна стоять на месте знака вопроса в выражении:

? + 4256 = 8348

Ответ: 4

Задание 3

Число 2017 записали 32 раза подряд. Полученное число поделили на 13. Найдите остаток от деления.

Ответ: 2

Задание 4

Автомобиль проехал 150 километров, израсходовав 10 литров бензина. Сколько литров бензина необходимо, чтобы проехать 180 километров?

Ответ: 12 литров

Задание 5

Вася считает, сколько ступенек он поднимает, когда поднимается по третьей части лестницы своего дома. Если бы он поднимался сначала по половине лестницы, а затем по одной трети оставшихся ступенек, то на одну меньше ступенек он бы поднялся. Сколько ступенек в лестнице дома Васи?

Ответ: 24 ступеньки

Задание 6

В треугольнике ABC проведена высота AM на сторону BC. Угол BAC в 2 раза больше угла AMB. Найдите угол A.

Ответ: 120 градусов

Задание 7

В треугольнике ABC проводятся медианы AD и BE, которые пересекаются в точке O. Докажите, что точка O делит каждую медиану в отношении 2:1.

Ответ:

Теорема о точке пересечения медиан треугольника:
Медианы, проведенные к сторонам а и в треугольнике АВС, пересекаются в точке О. Точка О делит каждую медиану в отношении (a:b) = (AO:BO) = (CO:DO) = 2:1.

Задание 8

Следующее число в последовательности: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...

Ответ: 19

Задание 9

В теремке 4 комнаты, выглядящие на 4 стороны света. В утренний час, когда солнце светит прямо на южную стену, войдя в зал и выглянув в окошко, стало удивительно: на всех 4-х часах настоящее время! Известно что часы всех четырёх комнат "ходят" точно. Как это возможно?

Ответ:

В здании Теремка есть две южных стороны, на которые светит солнце - южная стена и окно загадочной залы. Для того, чтобы часы всех комнат показывали правильное время (и одинаковое) нужно, чтобы они были на видимости из зала. Не имеет значения, в каком порядке они расположены на окружности, свет солнца так или иначе покажет на всех часах одно и то же время.

Задание 10

Массив X имеет N элементов. Если умножить первый элемент массива на 2, второй элемент массива отнимет от себя 3, а каждый последующий элемент массива уменьшится на 4. Какой должен быть N, чтобы сумма элементов массива X была равна 7?

Ответ:

Умножение первого элемента на 2: 2x
Отнимаем от второго элемента 3: 2x-3
Уменьшение последующих элементов: 2x-3, 2x-7, 2x-11, 2x-15,...

Сумма элементов массива X будет равна 7 в случае, если:
2x + (2x-3) + (2x-7) + (2x-11) + ... = 7
10x - 30 + 2(2x+2x-4+2x-8+...) = 7
10x - 30 + 2*2*[(2x-2)+(2x-6)+...] = 7
10x - 30 + 4*(x^2 - x) = 7
4x^2 - 9x - 23 = 0

Решаем квадратное уравнение:
x = (9 ± sqrt(9^2 - 4*4*(-23))) / (2*4) ≈ -0,95 or x ≈ 2,4

Ответ: N должно быть равно 2.