FAQ Infinity

Помогите, пожалуйста! Нужно вычислить определенный интеграл методами трапеции и треугольника

В математике вычисление определенных интегралов является важной задачей, имеющей широкое применение в различных областях. Методы численного интегрирования, такие как метод трапеций и метод треугольника, позволяют приближенно вычислить значение определенного интеграла на заданном интервале.

Метод трапеций

Метод трапеций является одним из наиболее простых и широко используемых методов численного интегрирования. Он основан на аппроксимации подынтегральной функции линейной функцией на каждом интервале интегрирования.

Для вычисления интеграла методом трапеций на интервале (a, b) необходимо разбить данный интервал на n равных частей шириной h, где h = (b - a) / n. Затем происходит аппроксимация подынтегральной функции на каждом интервале линейной функцией, которая проходит через конечные точки этого интервала. Площади полученных трапеций суммируются для получения приближенного значения определенного интеграла.

Метод треугольника

Метод треугольника, также известный как метод Симпсона, основан на аппроксимации подынтегральной функции параболой на каждом интервале интегрирования. Он является немного более точным, чем метод трапеций, но требует больше вычислительных ресурсов.

Для вычисления интеграла методом треугольника необходимо разбить интервал (a, b) на n равных частей шириной h, где h = (b - a) / n. Затем на каждом интервале аппроксимируется подынтегральная функция параболой, которая проходит через три точки: начальную, конечную и серединную. Площади полученных треугольников суммируются для получения приближенного значения интеграла.

Пример вычисления интеграла

Для примера, пусть нам необходимо вычислить определенный интеграл от функции f(x) = x^2 на интервале (1, 5). Разобьем данный интервал на 4 равные части с шагом h = (5 - 1) / 4 = 1.

Метод трапеций

  1. Находим значения функции в заданных точках:

    • f(1) = 1
    • f(2) = 4
    • f(3) = 9
    • f(4) = 16
    • f(5) = 25

  2. Вычисляем площадь каждой трапеции:

    • Площадь первой трапеции: (f(1) + f(2)) * h / 2 = (1 + 4) * 1 / 2 = 2.5
    • Площадь второй трапеции: (f(2) + f(3)) * h / 2 = (4 + 9) * 1 / 2 = 6.5
    • Площадь третьей трапеции: (f(3) + f(4)) * h / 2 = (9 + 16) * 1 / 2 = 12.5
    • Площадь четвертой трапеции: (f(4) + f(5)) * h / 2 = (16 + 25) * 1 / 2 = 20.5

  3. Суммируем площади всех трапеций:

    • Интеграл ≈ 2.5 + 6.5 + 12.5 + 20.5 = 42

Метод треугольника

  1. Находим значения функции в заданных точках, а также в середине каждого интервала:

    • f(1) = 1
    • f(1.5) ≈ 2.25
    • f(2) = 4
    • f(2.5) ≈ 6.25
    • f(3) = 9
    • f(3.5) ≈ 12.25
    • f(4) = 16
    • f(4.5) ≈ 20.25
    • f(5) = 25

  2. Вычисляем площадь каждого треугольника:

    • Площадь первого треугольника: h * (f(1) + 4 * f(1.5) + f(2)) / 6 = 1 * (1 + 4 * 2.25 + 4) / 6 ≈ 2.6667
    • Площадь второго треугольника: h * (f(2) + 4 * f(2.5) + f(3)) / 6 = 1 * (4 + 4 * 6.25 + 9) / 6 ≈ 7.3333
    • Площадь третьего треугольника: h * (f(3) + 4 * f(3.5) + f(4)) / 6 = 1 * (9 + 4 * 12.25 + 16) / 6 ≈ 14.6667
    • Площадь четвертого треугольника: h * (f(4) + 4 * f(4.5) + f(5)) / 6 = 1 * (16 + 4 * 20.25 + 25) / 6 ≈ 23.3333

  3. Суммируем площади всех треугольников:

    • Интеграл ≈ 2.6667 + 7.3333 + 14.6667 + 23.3333 ≈ 48

В данном примере мы вычислили определенный интеграл функции f(x) = x^2 на интервале (1, 5) методами трапеции и треугольника. Полученные значения равны 42 (метод трапеций) и 48 (метод треугольника), соответственно. Обратите внимание, что метод треугольника дал немного более точный результат.