Помогите, пожалуйста, с задачами по геометрии! Там 5 небольших задач.

Задача 1: Дан треугольник ABC. Найдите угол А, если известны его стороны: AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 9 см.

Решение: Для решения этой задачи мы можем использовать теорему косинусов. В треугольнике ABC, угол А описан стороной AC. Согласно теореме косинусов, мы можем использовать следующую формулу:

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(A)

Заменяем значения:

9^2 = 5^2 + 7^2 - 2 * 5 * 7 * cos(A)

81 = 25 + 49 - 70 * cos(A)

81 = 74 - 70 * cos(A)

70 * cos(A) = 74 - 81

70 * cos(A) = -7

cos(A) = -7 / 70

cos(A) = -1 / 10

A = arccos(-1 / 10)

A ≈ 100.52°

Ответ: Угол А примерно равен 100.52°.

Задача 2: Постройте высоты треугольника ABC, проведя их из вершин А, В и С. Показать, что они пересекаются в одной точке.

Решение: Чтобы показать, что высоты треугольника пересекаются, нам нужно доказать, что они проходят через одну точку, называемую ортоцентром треугольника.

Для этого проведем высоты AD, BE и CF из вершин A, B и C соответственно.

Для того чтобы высоты пересеклись в одной точке, нам нужно показать, что точки пересечения AD и BE, BE и CF, а также CF и AD лежат на одной прямой.

Мы можем доказать это, показав, что треугольник AFB равен треугольнику AEC (по стороне и двум углам), и треугольник ADC равен треугольнику AFB (по стороне и двум углам).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что высоты треугольника ABC пересекаются в одной точке.

Задача 3: Даны точки A(3, 8) и B(7, -2). Найдите расстояние между ними.

Решение: Для нахождения расстояния между двумя точками A и B мы можем использовать теорему Пифагора.

Расстояние между двумя точками (X1, Y1) и (X2, Y2) на плоскости равно:

d = sqrt((X2 - X1)^2 + (Y2 - Y1)^2)

Заменяем значения:

d = sqrt((7 - 3)^2 + (-2 - 8)^2)

d = sqrt(4^2 + (-10)^2)

d = sqrt(16 + 100)

d = sqrt(116)

d ≈ 10.77

Ответ: Расстояние между точками A(3, 8) и B(7, -2) примерно равно 10.77.

Задача 4: Нарисуйте описанную окружность для треугольника ABC, если известны его стороны: AB = 5 см, BC = 4 см, AC = 6 см.

Решение: Описанная окружность для треугольника ABC проходит через все его вершины. Чтобы нарисовать эту окружность, мы можем использовать формулу:

r = a * b * c / 4S

где r - радиус окружности, a, b и c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Для начала найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

s = (AB + BC + AC) / 2

S = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC))

Заменяем значения:

s = (5 + 4 + 6) / 2 = 15 / 2 = 7.5

S = sqrt(7.5 * (7.5 - 5) * (7.5 - 6) * (7.5 - 4))

S = sqrt(7.5 * 2.5 * 1.5 * 3.5)

S = sqrt(131.25)

S ≈ 11.46

Теперь подставим значения в формулу для радиуса:

r = 5 * 4 * 6 / (4 * 11.46)

r = 120 / 45.84

r ≈ 2.61

Ответ: Радиус описанной окружности треугольника ABC примерно равен 2.61 см.

Задача 5: Дан прямоугольник ABCD со сторонами AB = 7 см и BC = 5 см. Найдите площадь этого прямоугольника.

Решение: Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины прямоугольника. Для данного прямоугольника, мы можем использовать следующую формулу:

Площадь = длина * ширина

Подставляем значения:

Площадь = 7 см * 5 см = 35 см^2

Ответ: Площадь прямоугольника ABCD равна 35 см^2.