Помогите решить предел плиззз

Задача

Для заданной функции необходимо найти ее предел:

lim(x-0)=(tg^2 x/2) | (x^2)

Решение

Для начала необходимо упростить выражение (tg^2 x/2). Заметим, что (tg x/2)^2 = (sin x/2)^2 / (cos x/2)^2. Разделим числитель и знаменатель на (cos x/2)^2 и упростим выражение:

(tg x/2)^2 = (sin x/2)^2 / (cos x/2)^2 = (sin x/2)^2 / (1 - cos^2 x/2) = (sin x/2)^2 / (sin^2 x/2) / (1 - cos x/2) = 1 / (1 - cos x/2)

Теперь можно переписать исходный предел:

lim(x-0)=(tg^2 x/2) | (x^2) = lim(x-0)=(1 / (1 - cos x/2))^2 | (x^2)

Выражение (1 / (1 - cos x/2))^2 все еще неудобно, поэтому воспользуемся формулой двойного угла:

cos(2x) = cos^2 x - sin^2 x = 1 - 2sin^2 x

Тогда можно записать:

(1 / (1 - cos x/2))^2 = (1 / (2sin^2 x/4))^2 = (2/ sin^2 x)^2

Теперь можно переписать исходный предел в виде:

lim(x-0)=(tg^2 x/2) | (x^2) = lim(x-0)=(2/ sin^2 x)^2 | (x^2)

Далее, заметим, что sin x ~ x при малых значениях x, поэтому можно записать:

lim(x-0)=((2/ x^2)^2) = lim(x-0)=(4/ x^4) | (x^2)

что уже легко подсчитать:

lim(x-0)=4

Ответ

Ответом является 4.