Помогите решить пример
Данный пример представляет собой дифференциальное уравнение, где требуется найти функцию y, зависящую от переменной t. Заданы начальные условия, y(0) = 2 и y'(0) = -2.
Уравнение записано в виде y'' - 6y' = 0. Для решения данного уравнения, используем метод вариации произвольной постоянной. Предположим, что y пропорционально exp(αt), где α - постоянная, которую нужно определить. Тогда y = Ke^(αt), где K - постоянная.
Дифференцируем y один раз по t: y' = αKe^(αt). Дифференцируем y второй раз по t: y" = α^2Ke^(αt).
Подставляем полученные значения в уравнение: α^2Ke^(αt) - 6αKe^(αt) = 0. Поскольку e^(αt) ≠ 0, можно сократить на Ke^(αt): α^2 - 6α = 0.
Это квадратное уравнение имеет два решения: α1 = 0 и α2 = 6.
Получаем два общих решения для y: y1 = K1e^(0t) = K1, y2 = K2e^(6t).
Теперь рассмотрим начальные условия.
При t = 0 имеем y(0) = 2. Подставляем в y1: K1 = 2. Подставляем в y2: K2e^(6*0) = 2, откуда K2 = 2.
Итак, y(t) = 2 и y(t) = 2e^(6t) являются частными решениями данного уравнения.
Пояснение:
В данном примере используются буквы с штрихами, обозначающими производные функции. Одиночный штрих () означает первую производную (производную по t), а двойной штрих (~~) - вторую производную. В данной статье использованы буквы y, y~~ для обозначения соответствующих производных функции y.