Помогите решить уравнение x^2 - px + p = 0

Введение

Решение уравнений является важной задачей в алгебре и математике. Одним из таких уравнений является квадратное уравнение вида x^2 - px + p = 0, где p - произвольный параметр.

В этой статье мы рассмотрим, как решить данное квадратное уравнение и определим, какие условия должны быть выполнены для его решения.

Решение

Для начала, давайте рассмотрим квадратное уравнение в общей форме:

ax^2 + bx + c = 0

В нашем случае, a = 1, b = -p и c = p.

Используя формулу дискриминанта, мы можем определить, имеет ли уравнение действительные корни и какие условия должны выполняться для этого. Дискриминант формулируется следующим образом:

D = b^2 - 4ac

Подставим значения b и c из нашего уравнения:

D = (-p)^2 - 4 * 1 * p
D = p^2 - 4p

Условия решения

Итак, решение уравнения x^2 - px + p = 0 зависит от значения дискриминанта D. Для получения действительных корней, должно выполняться одно из следующих условий:

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет одно действительное решение (корень).
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Решение уравнения

Теперь рассмотрим каждый из случаев.

1. D > 0

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня. Дискриминант положительный, когда значение p^2 - 4p больше нуля:

p^2 - 4p > 0

Решим это неравенство:

p(p - 4) > 0

Из этого неравенства следует, что значение p должно быть либо положительным, либо отрицательным. Если p > 0 или p < 4, то уравнение имеет два действительных корня.

2. D = 0

Если D = 0, то уравнение имеет одно действительное решение. Дискриминант равен нулю, когда значение p^2 - 4p равно нулю:

p^2 - 4p = 0

Решив это уравнение, мы получим:

p(p - 4) = 0

Из этого уравнения следует, что p = 0 или p = 4. Таким образом, уравнение имеет один действительный корень, когда p равно нулю или 4.

3. D < 0

Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней. Дискриминант отрицательный, когда значение p^2 - 4p меньше нуля:

p^2 - 4p < 0

Решив это неравенство, мы получим:

p(p - 4) < 0

Такое неравенство невозможно выполнить ни при каких значениях p. Следовательно, уравнение не имеет действительных корней, когда D < 0.

Заключение

В этой статье мы рассмотрели квадратное уравнение x^2 - px + p = 0 и определили условия, которые должны выполняться для его решения. Уравнение может иметь два действительных корня, один действительный корень или не иметь действительных корней в зависимости от значения дискриминанта. Решая данное квадратное уравнение, мы можем определить значения параметра p, при которых уравнение будет иметь действительные корни или не иметь их вообще.