Упростить выражение

В данной статье мы рассмотрим процесс упрощения выражения

[2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)^2 - 4\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right)^3 + 6\tan0]

с использованием свойств тригонометрии.

Начнем с первой части выражения: (2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)^2). Используя свойство квадрата косинуса (\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}), мы можем переписать данную часть выражения следующим образом:

[2\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)^2 = 2\left(\frac{1 + \cos\left(2\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)}{2}\right)]

Упрощая дальше, получаем:

[2\left(\frac{1 + \cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right)}{2}\right)]

Поскольку (\cos(-\theta) = \cos(\theta)), мы можем далее упростить:

[2\left(\frac{1 + \cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)}{2}\right)]

Косинус угла (\frac{2\pi}{3}) равен -0.5, поэтому получаем:

[2\left(\frac{1 + (-0.5)}{2}\right)]

Упрощая дальше, получаем:

[2\left(\frac{1 - 0.5}{2}\right)]

[2\left(\frac{0.5}{2}\right)]

[2 \cdot \frac{0.5}{2}]

[\frac{2}{2} \cdot 0.5]

[1 \cdot 0.5]

[0.5]

Теперь перейдем ко второй части выражения: (4\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right)^3). Используя свойство куба котангенса (\cot^3(x) = \frac{1}{\tan^3(x)}), мы можем переписать данную часть выражения следующим образом:

[4\cot\left(-\frac{\pi}{6}\right)^3 = 4\left(\frac{1}{\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)^3}\right)]

Поскольку (\tan(-\theta) = -\tan(\theta)), мы можем далее упростить:

[4\left(\frac{1}{-\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)^3}\right)]

Тангенс угла (\frac{\pi}{6}) равен (\frac{1}{\sqrt{3}}), поэтому получаем:

[4\left(\frac{1}{-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3}\right)]

Упрощая дальше, получаем:

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{3}^3}}\right)]

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}}\right)]

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3\cdot3}}}\right)]

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{9}}}\right)]

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{\sqrt{3} \cdot 3}}\right)]

[4\left(\frac{1}{- \frac{1}{3\sqrt{3}}}\right)]

[4\left(\frac{3\sqrt{3}}{-1}\right)]

Упрощая дальше, получаем:

[4 \cdot (-3\sqrt{3})]

[-12\sqrt{3}]

Наконец, рассмотрим третью часть выражения: (6\tan0). Тангенс угла 0 равен 0, поэтому получаем:

(6 \cdot 0 = 0)

Теперь, используя упрощенные результаты каждой части выражения, можем получить окончательный результат:

[0.5 - 12\sqrt{3}]