Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 – 2, y = 2x – 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, мы должны найти точки их пересечения и построить график для определения границ этой фигуры.

Нахождение точек пересечения

Для начала, найдем точки, в которых линии y = х^2 – 2 и y = 2x – 2 пересекаются:

$x^2 - 2 = 2x - 2$

Перенесем все в левую часть уравнения:

$x^2 - 2x = 0$

Теперь разложим этот квадратный трехчлен на множители:

$x(x - 2) = 0$

Таким образом, мы получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 2.

Построение графика

Теперь построим график обеих линий, чтобы выяснить, какую фигуру они ограничивают:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-5, 5, 100)
y1 = x**2 - 2
y2 = 2*x - 2

plt.plot(x, y1, label='y = x^2 - 2')
plt.plot(x, y2, label='y = 2x - 2')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1>y2), color='gray', alpha=0.5)

plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График фигуры, ограниченной линиями')
plt.grid(True)
plt.show()

Вычисление площади

Найденные точки пересечения x = 0 и x = 2 задают интервал, в котором фигура ограничена. Чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно найти интеграл от разности функций y = х^2 – 2 и y = 2x – 2 по этому интервалу:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 2) - (2x - 2) , dx$

Подсчитаем данный интеграл:

$S = \int_{0}^{2} (x^2 - 2x + 2) , dx$

$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{0}^{2}$

$S = \left( \frac{8}{3} - 4 + 4 \right) - \left( 0 - 0 + 0 \right)$

$S = \frac{8}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями у = х^2 – 2 и y = 2x – 2, равна $\frac{8}{3}$ квадратных единиц.