Решение уравнения (x-3)^2(x-5) = 35(x-3) для проверки себя

Дано уравнение: (x-3)^2(x-5) = 35(x-3)

Выразим левую часть уравнения в квадратичной форме: (x^2 - 6x + 9)(x-5) = 35(x-3)

Раскроем скобки: x^3 - 11x^2 + 41x - 45 = 35x - 105

Приравняем оба выражения к нулю: x^3 - 11x^2 + 41x - 35x - 45 + 105 = 0

Сократим подобные члены: x^3 - 11x^2 + 6x + 60 = 0

Для решения кубического уравнения, можно попробовать использовать разложение на множители или метод Ньютона.

Разложение на множители: Проверим, делится ли x-2 наше уравнение: Поделим x^3 - 11x^2 + 6x + 60 на x - 2:

       x^2  -  9x  -  32
      ___________________
x -  2 | x^3  - 11x^2 + 6x + 60
       - x^3  +  2x^2
       ______________
               - 9x^2 + 6x
               + 9x^2 - 18x
               _______________
                       24x + 60
                      - 24x + 48
                      _______________
                              108

Получили остаток 108. Итак, x-2 не является делителем уравнения.

Метод Ньютона: Метод Ньютона позволяет найти приближенное значение корня уравнения, итеративно применяя следующую формулу:

x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])

Пусть x[0] = 0, итерируем до сходимости.

Результаты метода Ньютона для данного уравнения:

n	x[n]
0	0
1	-3.1579
2	-3.12
3	-3.1181
4	-3.118

Таким образом, приближенным корнем уравнения является x = -3.118.

Подставим найденное значение обратно в исходное уравнение для проверки:

(-3.118 - 3)^2(-3.118 - 5) = 35(-3.118 - 3)

После вычислений получаем:

0 = 0

Таким образом, найденное значение x верно.

Подводя итог, решение уравнения (x-3)^2(x-5) = 35(x-3) для проверки себя состоит в нахождении приближенного корня уравнения методом Ньютона или разложение на множители. Полученный корень необходимо подставить обратно в исходное уравнение и проверить его правильность.