Исследование функции и построение её графика

10.07.2023
Без рубрики

Задача

Необходимо исследовать функцию f(x) = (2/3)x^3 — x^2 с помощью производной и построить её график.

Решение

1. Нахождение производной

Для начала, найдем производную функции f(x) по переменной x, чтобы определить её поведение на интервалах.

Для функции вида f(x) = ax^n, где a — коэффициент, n — показатель степени, производная определяется следующим образом: f'(x) = anx^(n-1).

В нашем случае, функция f(x) = (2/3)x^3 — x^2 имеет показатель степени 3 и коэффициент 2/3. Поэтому, производная f'(x) будет равна:

f'(x) = (3 * (2/3)x^3) — (2x^2)
f'(x) = 2x^2 — 2x^2
f'(x) = 2x^2 — 2x^2
f'(x) = 0

Таким образом, производная функции f(x) равна нулю. Это означает, что функция имеет экстремумы на оси x.

2. Построение графика

Для построения графика функции f(x) = (2/3)x^3 — x^2, мы можем воспользоваться информацией, полученной из производной.

  1. Точки, в которых производная равна нулю, являются кандидатами на экстремумы функции. Такими точками в нашем случае являются x = 0.

  2. Анализируя поведение производной слева и справа от точек экстремума, можно определить, является ли экстремум максимумом или минимумом.

  3. Также можно определить, в каких интервалах функция возрастает и убывает.

  4. Найденные экстремумы и интервалы возрастания/убывания помогут нам построить график функции.

3. Анализ функции

Так как производная f'(x) равна нулю на всей оси x, можем сказать, что у функции нет экстремумов. То есть, f(x) возрастает на всей числовой прямой.

Также, функция является полиномом 3-й степени, и у нее есть точка перегиба в нуле координат. В нуле производная функции изменяется с положительного значения на отрицательное, поэтому можно сказать, что f(x) имеет точку перегиба в нуле.

4. Построение графика функции

Таким образом, график функции f(x) = (2/3)x^3 — x^2 будет возрастать на всей числовой прямой и иметь точку перегиба в нуле.

Вот как будет выглядеть график функции:

На графике видно, что функция возрастает на всей числовой прямой и имеет точку перегиба в нуле координат.

Таким образом, мы исследовали функцию f(x) = (2/3)x^3 — x^2 с помощью производной и построили её график.