Неопределенные интеграл (5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx

Неопределенный интеграл - это функция, обратная производной. Стоит заметить, что не все функции имеют такую обратную функцию, поэтому не для всех функций можно вычислить неопределенный интеграл.

Одна из сложных функций, интеграл которой может вызвать трудности - (5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx. Но давайте разберемся, как его можно решить.

Сначала проведем простое преобразование:

(5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx = (5x+4)/((x+2)^2+(x-3)+13)dx

Добавим и вычтем в знаменателе 4:

(5x+4)/((x+2)^2+(x-3)+13)dx = (5x+4)/(x^2+4x+13)dx

Теперь, чтобы вычислить интеграл, нам нужно разложить исходную функцию на простые дроби. Для этого выполним следующие действия:

(5x+4)/(x^2+4x+13) = A/(x^2+4x+13) + B/(x+2)

Умножим обе части уравнения на (x^2+4x+13)(x+2):

5x+4= A(x+2) + B(x^2+4x+13)

Подставим в это уравнение значения x=-2 и x=в -2+i√3 (комплексно сопряженное x= -2-i√3), чтобы найти коэффициенты A и B. Тогда получим систему уравнений:

5(-2) + 4 = A(-2+2) + B((-2)^2 + 4(-2) + 13)
5(-2+i*sqrt(3)) + 4 = A(-2+i*sqrt(3)+2) + B((-2+i*sqrt(3))^2 + 4(-2+i*sqrt(3)) + 13)
5(-2-i*sqrt(3)) + 4 = A(-2-i*sqrt(3)+2) + B((-2-i*sqrt(3))^2 + 4(-2-i*sqrt(3)) + 13)

Решив эту систему уравнений, мы найдем значения A=4/13 и B=1/13.

Запишем функцию в виде суммы простых дробей:

(5x+4)/(x^2+4x+13) = 4/13*(1/(x+2)) + 1/13*((x+2)/(x^2+4x+13))

Теперь мы можем легко вычислить интеграл:

∫(5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx = 4/13*ln|x+2| + 1/13*∫(x+2)/(x^2+4x+13)dx

Для вычисления последнего интеграла воспользуемся заменой переменной u=x^2+4x+13, du=(2x+4)dx:

∫(x+2)/(x^2+4x+13)dx = 1/2*ln(x^2+4x+13) + C

Теперь интеграл можно записать в следующем виде:

∫(5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx = 4/13*ln|x+2| + 1/26*ln(x^2+4x+13) + C

Где C - произвольная константа.

Таким образом, мы получили неопределенный интеграл для функции (5x+4)/((x+2)^2+(x-3))dx. Здесь преобразование и разложение на простые дроби были ключевыми шагами, которые позволили вычислить интеграл.