Помощь в решении неопределенного интеграла: $ \int \frac{8x}{(x^2+6x+5)(x+3)} , dx $

Итак, нам дан неопределенный интеграл $ \int \frac{8x}{(x^2+6x+5)(x+3)} , dx $, и наша задача заключается в его решении.

Для начала разложим знаменатель в произведение двух множителей:

$x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)$

Заметим также, что $x + 3$ в числителе может быть факторизовано как $x + 3 = (x + 1) + 2$.

Теперь мы можем представить исходный интеграл в виде суммы двух дробей:

$ \int \frac{8x}{(x + 1)(x + 5) \cdot (x + 1 + 2)} , dx $

$ \int \left( \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 5} + \frac{C}{x + 3} \right) , dx $

Домножим обе части уравнения на исходное выражение в знаменателе, чтобы избавиться от дробей:

$8x = A(x + 5)(x + 3) + B(x + 1 + 2)(x + 3) + C(x + 1)(x + 5)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$8x = (A + B + C)x^2 + (8A + 7B + 2C)x + (15A + 5B)$

Теперь нам нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $x$ в левой и правой части равенства:

Решим данную систему уравнений:

Уравнение 3 умножим на 3: $45A + 15B = 0$

Вычитаем уравнение 2 из уравнения 3: $-31A + B = 8$

Теперь имеем систему из двух уравнений:

$A + B + C = 0$

$-31A + B = 8$

Добавим оба уравнения:

$-30A = 8$

$A = -\frac{4}{15}$

Подставим значение A в уравнение 2:

$-31 \left( -\frac{4}{15} \right) + B = 8$

$ B = 3$

Подставим значения A и B в уравнение 1:

$ -\frac{4}{15} + 3 + C = 0 $

$ C = -\frac{1}{15} $

Теперь мы получили коэффициенты A, B и C:

$ A = -\frac{4}{15}, B = 3, C = -\frac{1}{15} $

Итак, после факторизации знаменателя и расчета коэффициентов A, B и C, исходный интеграл может быть представлен в виде:

$ \int \left( \frac{-\frac{4}{15}}{x + 1} + \frac{3}{x + 5} + \frac{-\frac{1}{15}}{x + 3} \right) , dx $

Теперь мы можем проинтегрировать каждую дробь по отдельности, используя правила интегрирования:

$ \int \frac{-\frac{4}{15}}{x + 1} , dx = \frac{-4}{15} \ln|x + 1| + C_1 $

$ \int \frac{3}{x + 5} , dx = 3 \ln|x + 5| + C_2 $

$ \int \frac{-\frac{1}{15}}{x + 3} , dx = \frac{-1}{15} \ln|x + 3| + C_3 $

Где $C_1, C_2$ и $C_3$ - произвольные константы интегрирования.

Наконец, собираем все вместе:

$ \int \frac{8x}{(x^2+6x+5)(x+3)} , dx = \frac{-4}{15} \ln|x + 1| + 3 \ln|x + 5| + \frac{-1}{15} \ln|x + 3| + C $

Где C - произвольная константа интегрирования.

Итак, мы успешно решили неопределенный интеграл $ \int \frac{8x}{(x^2+6x+5)(x+3)} , dx $.